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正文摘录:

2006征第23期总第238此时，若未定权益的收益为^(S。、)，则在测度Q下其定价为E。h(S，)，EQ为Q下的期望。于是，对测度Q的选择，等价于对波动风险市价A，的选择。3特殊鞅测度下风险市价的-眭质本文的主要工作就是介绍两种不同鞅测度下期权价格的区别，即F—S意义下的最小鞅测度(又称局部风险最小鞅测度)和q一优测度(其中方差最优鞅测度是其特殊情况)。首先简单描述了两种测度，给出每种测度下的波动率风险市价以及每种情形下的动态过程模型。3.1最小鞅测度在最小鞅测度Q…’下，S是一Q“’鞅，并且与S正交的P一鞅在Q…’下仍然是鞅。这一结论体现在风险市价中就是A…’一0，W。一W。于是式(2)可写为：弘唧(一小…。)dB。一姒舶∥d“)若N。vik。v条件Eexp(专K，＜co)即Eexp(丢r“(“，砜)du)＜。。成立，则Z，是P一鞅。所以，在Q…’下，模型(4)写为：孥一唧”㈤du，一[n(f，u。)一2,b(￡，让)]dt+b(t，u，)dV矿?…3.2q一优测度q一优测度表示为Q‘…，Hobson在文献[4]中详细描述了基于模型(1)下的q优测度Q‘…。设此时风险市价过程为：A‘。’(t，u，)一q一6(t，u，)g’(t，u：)其中g-(“，u。)满足下面方程：百q“(“，u。)。一告6(“，u。)。(g’)。+a(u，u。)g’+妻6(“，u。)。gt,+g一0利用Feynman—Kac可得：g(f，u)一一logE[exp(一号h(“，砜)。du)iu，一”](6)所以在q一优测度下，动态过程为：孥一。邶∥0‘du，一[以(f，u，)一b(t，u，)。g’(t，u，)]df+b(t，u，)dw?。4期权定价的大小关系下面给出结论：期权的价格是关于风险参数A的减函数。假设资产价格过程与波动率过程的相关系数为零，定理1给出了不同风险市价下期权价格的大小关系。定理1在模型(1)的假设下，考虑d和Q’下的风险市价过程A(t，u)和)，(t，w)，则两个过程下的波动率分别为：d∥一[＆(t，u；)一A(￡，V。t)6(t，u?)]dt+6(t，口?)dV旷?dvj_-[口(t，uj)一)，(t，u)6(t，uj)]dt+b(t，uj)dW?其中：wd和wd分别为QLBrownian和QLBrownian运动。假设两种情况下的u均大于零，股价过程分别为ds，／s，一u；dBP和ds：／s，一”?dB，，Bd和Bd是对应测度下的Brownian运动。那么，对给定的A(t，u)≥y(t，口)Vt，u∈R。，有Edh(S})≤Edh(s；)证明：定义新的概率空间臼，其中B，彬是其下的独立Brownian运动。∥和0’在Q下的动态过程分别为：d07一[a(f，07)一A(f，云?)6(f，云：)]d￡+b(t，0；)d彬，(7)d云j一[n(￡，0j)一2(t，07)6(￡，0j)]df+b(t，0j)d彬，(8)并且设祝一访。引入关于时间的变量Aj—I(说)。du和Aj—I(0：)。du。首先假设A?≤Aj，在”非负情况下，这是司≤口的充分条件，同时由式(7)式(8)可得，当A(t，”)≥y(t，u)时，也有口≤谚。下面对给定的臼一Brownian运动B，定义：百j一』j麦d白一：和豆j—j’：壶d白一：记Edh(S；)一E矗(Sj)，其中S“满足方程：喾..v一,dB,。s：一s。(9)同理可得Si的定义。所以欲证定理1的结论即证：觑(S；)≤觑(S；)由式(9)可得：s；一s。exp(I祝舾：)一÷I(说)。du)Tr-1r7一＆exp(B止一÷A；)同理研一s。exp(B一一妻A；)。由此看出s。，s’分别是关于Aj、和A；的鞅。于是对A；≤Aj，有E(S；IA；)一崭。运用Jensen不等式可得：E[^(S；lA；)]≥矗(亡(S；A；))一矗(S；)所以：觑(S；)一E[￡[矗(S；)lAj]]≥E矗(S；)即定理1得证。5在最小鞅测度，q一优测度下期权定价的区别引理1若X满足：dX一“(t，X，)dt+6(t，X，)dW(10)其中w是P—Brownian运动，假设式(10)有惟一弱解，且满足马尔可夫性质，两个起始状态X。一T“’，X。一z”’，且z“’＜z“’，那么对函数Ⅲ(厂)：c[0，丁]一R，如果：(1)m(厂)关于f非增，那么Em(x∥)≤Em(x∥)(下转第50页)45