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正文摘录:

邹建彬等：复高斯白噪童工垦王曼壁亘渣塑麴圣笪让e，一E1，exp(jw。)，…，exp(j(N一1)训，)]。(7)则式(3)可表示为：s—Ac，e，(8)R。一S一，，L6，为求A。，W，，仍的最大似然估计，需求解：L(Acl，W1)一(x—s)“(X—s)(9)如果已知叫.，则可求出使式(9)最小化的解Ac·，式中w，如果用最大似然估计取代，则Af。就是正弦波复振幅的最大似然估计。式(9)的求解即为z(n)的周期图，故有结论：在复高斯白噪声中混有单个复正弦信号，其频率的最大似然估计可根据数据的周期图的最大值所在的频率位置求出。下面讨论复高斯白噪声中混有多个复正弦信号的频率估计问题。设s由M个正弦波构成：Ms—yAcle，(10)为求正弦波参数的最大似然估计，必须使以下的函数最小化：^rML一(x一∑Ac.ei)”(x--∑Af，e1)(11)i=ll一1令：E—Eel，e∥”，eM]’；Ac一[ml，Ac2，…，知M]’；Q一[叫1，W2，…，WM]’则式(11)可写成以下形式：L(正n)一(x—ErAc)“(x—E“Ac)(12)假设E是已知矩阵，上式的最小化问题实际上是一个典型的线形最小二乘方问题，为求频率的最大似然估计，必须求解上式右端二项的最大化问题，即：L(正，Q)一x“(x—ErA；)一xH工一XHE丁(E’E丁)。E’x(13)这是一个高度非线形的方程，AtfJ出了用所谓迭代最佳化方法求解，如果各正弦波的频率用周期图能进行分辨，那么式(13)的最大解将对应于周期图中对大值所在的频率。本实验中所用仿真数据M一2，用周期图可以分辨这两个频率，故采用这种方法来估计频率。2.2子空间旋转不变(ESPRIT)法旋转不变的基本思想是向量X经旋转后得到Y，并保持了x和Y对应信号子空间的不变性。考虑如下时间序列：丁(“)一yO'iexp~j(w，“-t-口。)]+训，(“)(14)了=0y(”)一∑矗exp~j(w，n+民)]+鸭(”)(15)式中u，，(，：)，训。(”)为谱密度未知相互独立的零均值色噪声，T(”)与y(”)互相关函数为：r。(m)一ELT’(n)y(”+m)]其对应的互相关矩阵为：夕r。。(O)r。(一1)…r。(1)r。(O)…～(p一1)r。(P一2)…设另外一个信号序列y(n--1)，T(”)与y(n一1)的互相关函数矩阵为：Rj。一As够“(17)妒一diag[e】”-，e】”，…，eJ“”]由R。，和R’。对应的信号空间为同一空间，是通过旋转得到的一对矩阵束。定理设J1为矩阵束{R。，R’。}相对应的广义特征值矩阵，若P是非奇异的，则：r一[∞证明：考虑R，。一探’，，一AS(，一坤)A“(18)有秩恒等关系；一个矩阵，每当他左乘(右乘)一个满列(满行)秩的矩阵时，其秩不变，即：(1)当r≠eiw,的一般情况有：rank(R，。一尔’。)一rank(J一碑’)一q(2)当r—e”：时：rank(R，。一Rir,)一rank(I一仰)一q一1由此可知，是矩阵对的广义特征值。又由于矩阵对的两个子矩阵所张成的子空间相同，即有q个位于单位圆上并等于旋转符的对角元素，其余的广义特征值为零。因此式成立。矩阵束的广义特征值即为所要估计的频率。这就是基于旋转不变的互谱估计法。其余的MUSIC法和协方差法原理可参考文献[1，2]，这里不详述。3仿真实现利用Matlab对上述频率估计方法进行仿真。设复高斯白噪声中存在两个非常接近的复正弦信号。设输入信号为：工(”)一exp(j2n×0.48)+exp(j2~×0.50+7c／4)十u(”)(19)信噪比定义为：SNR—lOlog。。(1／《)(dB)(20)其中O-“”(¨)方差。频率估计精度定义为：ACU一10log，。(1／均方误差)(21)使用Matlab工具，用4种不同方法得到其典型功率谱图如下：(1)最大似然法，”m一512，^一1000，”一100(nf『I是FFT的长度，六是采样频率，”是N个采样值)。A◇般㈣一12++D矿抄¨∞一一.～～“