1	群论的错误与从卡丹公式和费尔拉里公式看一元五次方程的可解性 所投刊社及刊社评论 | 作者个人资料
	投票	5条评论 收藏  推荐本文 博客引用 作者:白杨    所属分类: 自然科学

本文章所配附件:

baiyang.rar

摘要 摘要:复旦大学出版社出版的由徐诚浩老师编著的<古典数学难题与伽罗瓦理论>中56页至57页的定理8.2说,当n大于等于5时,Sn不是可解群,并且可以任取5个两两互异自然数证明.我的看法:当一个一元五次方程的根取型如1,2,3,4,5这样平均数是其中一个根的时候,在去掉方程的四次项的时候,常数项也为0,方程可解.再有132页至133页的定理1.5说,仅有一对共轭非实根的一元五次方程不能用根号求解,并举出一个例子:X^5-4X+2=0,运用关于多项式的施斗姆(Sturm)定理判定,此方程仅有3个实根,不能用根号求解.我的看法:型如上面,当一元五次方程的五个根的平均数是其中的一个根时,方程可解. 正文 字体大小：大 中 小

摘要(续):并且定理8.2和定理1.5矛盾:定理8.2中任取的5个两两互异的自然数拼凑出来的非仅有一对共轭非实根的一元五次方程在定理1.5中是可解的,而定理8.2却说,当n大于等于5时,Sn不是可解群,那么就是说:任取5个两两互异的自然数自然数拼凑出来的一元五次方程一部分是可解的,定理8.2以偏盖全无意义,即定理8.2和定理1.5矛盾.看我如何解X^5-4X+2=0,最后从解X^5-4X+2=0中看我如何解一般的一元五次方程X^5+AX^4+BX^3+CX^2+DX+E=0. 原理:先看<古典数学难题与伽罗瓦理论>中2页至3页的卡丹公式和4页至5页的费尔拉里公式. 卡丹公式:在x^3+ax^2+bx+c=0中作变量代换x=y-a/3后化为y^3+py=q,(1),它不再含有平方项了.设y=m^(1/3)-n^(1/3),这里m和n是两个待定的数,则有y^3=m-n-3*(m*n)^(1/3)y=q-py.如果取m,n满足m-n=q,(m*n)^(1/3)=p/3,则对应的y值必满足(1)式.另一方面,由(m+n)^2=(m-n)^2+4*m*n=q^2+(4/27)p^3,可得m+n=[q^2+(4/27)p^3]^(1/2).所以,当取m=(1/2)q+[q^2+(4/27)p^3]^(1/2),n=-(1/2)+[q^2+(4/27)p^3]^(1/2)时,并令A=m^(1/3),B=n^(1/3),就得原三次方程的一个根x1=A-B-a/3,它的另两个根是x2=wA-(w^2)B-a/3,x3=(w^2)A-wB-a/3,这里w=[-1+3^(1/2)i]/2,w^2=[-1-3^(1/2)i]/2,其中i=(-1)^(1/2)是x^3-1=0的两个不是1的根. 费尔拉里公式:对于四次方程x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0,(2)引入参数t,经过配方化为[x^2+(1/2)ax+(1/2)t]^2=[(1/4)a^2-b+t]x^2+[(1/2)at-c]x+[(1/4)t^2-d],(3).容易验证(2)与(3)式是一样的.为了保证(3)式右边是完全平方,可令它的判别式为0:[(1/2)at-c]^2-4[(1/4)a^2-b+t][(1/4)a^2-b+t]=0,即选择t是三次方程t^3-bt^2+(ac-4d)t-(a^2)d+4bd-c^2=0的任一根.把这个根作为(3)中的t值就有[x^2+(1/2)ax+(1/2)t]^2={[(1/4)a^2-b+t]^(1/2)x+[(1/4)t^2-d]^(1/2)}^2.把右边移到左边并分解因式得到两个二次方程x^2+{(1/2)a-[(1/4)a^2-b+t]^(1/2)}x+(1/2)t-[(1/4)t^2-d]^(1/2),x^2+{(1/2)a+[(1/4)a^2-b+t]^(1/2)}x+(1/2)t+[(1/4)t^2-d]^(1/2). 我的思路:从卡丹公式看,以X^5-4X+2=0为例,方程应去掉四次项,这里方程X^5-4X+2=0的四次项为0,不用去了.卡丹方程可以把y=m^(1/3)-n^(1/3)设为y=m^(1/3)+n^(1/3),所以对于方程X^5-4X+2=0设X=a^(1/5)+b^(1/5)+c^(1/5)+d^(1/5).从卡丹方程的后两个根看,X^5-4X+2=0的另四个根应是X2=w[a^(1/5)]+(w^2)[b^(1/5)]+(w^3)[c^(1/5)]+(w^4)[d^(1/5)],X3=(w^2)[a^(1/5)]+(w^4)[b^(1/5)]+w[c^(1/5)]+(w^3)[d^(1/5)],X4=(w^3)[a^(1/5)]+w[b^(1/5)]+(w^4)[c^(1/5)]+(w^2)[d^(1/5)],X5=(w^4)[a^(1/5)]+(w^3)[b^(1/5)]+(w^2)[c^(1/5)]+w[d^(1/5)],这里w=(1/4)(-1+5^(1/2)+{10+2[5^(1/2)]}i),w^2=(1/4)(-1-5^(1/2)+(1/2)[5^(1/2)-1]{10+2[5^(1/2)]}i),w^3=1/(w^2)=(1/4)(-1-5^(1/2)-(1/2)[5^(1/2)-1]{10+2[5^(1/2)]}i),w^4=1/w=(1/4)(-1+5^(1/2)-{10+2[5^(1/2)]}i),其中i=(-1)^(1/2).所以有 X^5=[a^(1/5)+b^(1/5)+c^(1/5)+d^(1/5)]^5 =5[(ad)^(1/5)+(bc)^(1/5)]X^3---------------------------------------------------------------------5*2*4^3=640 +5[(aac)^(1/5)+(ddb)^(1/5)+(bba)^(1/5)+(ccd)^(1/5)]X^2-------------------------------------------5*4*4^2=320 +5[(aaab)^(1/5)+(dddc)^(1/5)+(bbbd)^(1/5)+(ccca)^(1/5)+(abcd)^(1/5)-(aadd)^(1/5)-(bbcc)^(1/5)]X-----5*3*4=60 +a+b+c+d+5[(ad)^(1/5)-(bc)^(1/5)][(bba)^(1/5)+(ccd)^(1/5)-(aac)^(1/5)-(ddb)^(1/5)]--4,(4^5=640+320+60+4=1024) 从卡丹方程的m-n=q,(m*n)^(1/3)=p/3来看,aac+ddb+bba+ccd,aaab+dddc+bbbd+ccca,(abcd)^(1/5)的值应不含五次根号,所以我们要先求出aac+ddb+bba+ccd或aaab+dddc+bbbd+ccca,(abcd)^(1/5).这里我们取求aaab+dddc+bbbd+ccca和(abcd)^(1/5).如果(abcd)^(1/5)的方程低于五次方程可解,如果(abcd)^(1/5)的方程大于或等于五次,我们把aaab+dddc+bbbd+ccca用(abcd)^(1/5)表示,然后把aaab+dddc+bbbd+ccca,k次方,2k次方,3k次方,4k次方(k小于4),得到四个公式,这三个式子的(abcd)^(1/5)的最高项的次数要高于(abcd)^(1/5)自己为方程的最高项的次数,我们取其中的两个,三个或四个都取,连立(abcd)^(1/5)自己组成的方程,这样我们就可以象解卡丹公式和费尔拉里公式一样,逐次消去(abcd)^(1/5)项,解低于原方程X^5-4X+2=0五次的aaab+dddc+bbbd+ccca的一元四次或三次方程.然后回代,解出(abcd)^(1/5),(ad)^(1/5),(bc)^(1/5),a+b+c+d,a+d,b+c,进而解出a,b,c,d. 第一部分: 解X^5-4X+2=0 设X=a^(1/5)+b^(1/5)+c^(1/5)+d^(1/5) 有X^5=[a^(1/5)+b^(1/5)+c^(1/5)+d^(1/5)]^5 =5[(ad)^(1/5)+(bc)^(1/5)]X^3 +5[(aac)^(1/5)+(ddb)^(1/5)+(bba)^(1/5)+(ccd)^(1/5)]X^2 +5[(aaab)^(1/5)+(dddc)^(1/5)+(bbbd)^(1/5)+(ccca)^(1/5)+(abcd)^(1/5)-(aadd)^(1/5)-(bbcc)^(1/5)]X +a+b+c+d+5[(ad)^(1/5)-(bc)^(1/5)][(bba)^(1/5)+(ccd)^(1/5)-(aac)^(1/5)-(ddb)^(1/5)] 对应系数 5[(ad)^(1/5)+(bc)^(1/5)]=0,--------------------------------------------------------------------------(1) 5[(aac)^(1/5)+(ddb)^(1/5)+(bba)^(1/5)+(ccd)^(1/5)]=0,------------------------------------------------(2) 5[(aaab)^(1/5)+(dddc)^(1/5)+(bbbd)^(1/5)+(ccca)^(1/5)+(abcd)^(1/5)-(aadd)^(1/5)-(bbcc)^(1/5)]=4,-----(3) a+b+c+d+5[(ad)^(1/5)-(bc)^(1/5)][(bba)^(1/5)+(ccd)^(1/5)-(aac)^(1/5)-(ddb)^(1/5)]=-2,----------------(4) 整理得 (ad)^(1/5)+(bc)^(1/5)=0,---------------------------------------------------------------------------(1.1) (aac)^(1/5)+(ddb)^(1/5)+(bba)^(1/5)+(ccd)^(1/5)=0,-------------------------------------------------(2.1) (aaab)^(1/5)+(dddc)^(1/5)+(bbbd)^(1/5)+(ccca)^(1/5)+(abcd)^(1/5)-(aadd)^(1/5)-(bbcc)^(1/5)=4/5,----(3.1) a+b+c+d+5[(ad)^(1/5)-(bc)^(1/5)][(bba)^(1/5)+(ccd)^(1/5)-(aac)^(1/5)-(ddb)^(1/5)]=-2,--------------(4) 由(1.1)得(aadd)^(1/5)=(bbcc)^(1/5)=-(abcd)^(1/5),---------------------------------------------------(1.2) 把(1.1),(2.1)代入(4)得 (a+b+c+d+2)/[20(ad)^(1/5)]=(aac)^(1/5)+(ddb)^(1/5),-------------------------------------------------(4.1) (a+b+c+d+2)/[-20(ad)^(1/5)]=(bba)^(1/5)+(ccd)^(1/5),------------------------------------------------(4.2) 把(1.2)代入(3.1)得 (aaab)^(1/5)+(dddc)^(1/5)+(bbbd)^(1/5)+(ccca)^(1/5)=4/5-3(abcd)^(1/5),------------------------------(3.2) 把(4.1)和(4.2)相乘得 [(a+b+c+d+2)^2]/[-400(aadd)^(1/5)] =[(bc)^(1/5)][(aaab)^(1/5)+(dddc)^(1/5)]+[(ad)^(1/5)][(bbbd)^(1/5)+(ccca)^(1/5)],-------------------(4.3) 把(3.2)代入(4.3)得 [(a+b+c+d+2)^2]/[800(aaaddd)^(1/5)]+2/5-(3/2)(abcd)^(1/5)=(aaab)^(1/5)+(dddc)^(1/5),----------------(4.4) [(a+b+c+d+2)^2]/[-800(aaaddd)^(1/5)]+2/5-(3/2)(abcd)^(1/5)=(bbbd)^(1/5)+(ccca)^(1/5),---------------(4.5) 把(4.1)和(4.4)相乘得 [(a+b+c+d+2)^3]/(-16000ad)+{(a+b+c+d+2)/[-20(aadd)^(1/5)]}*[2/5-(5/2)(abcd)^(1/5)]=a+d,-------------(4.6) 把(4.2)和(4.5)相乘得 [(a+b+c+d+2)^3]/(16000ad)+{(a+b+c+d+2)/[-20(aadd)^(1/5)]}*[2/5-(5/2)(abcd)^(1/5)]=b+c,--------------(4.7) 把(4.6)和(4.7)相加得 a+b+c+d+2=[-20(abcd)^(1/5)]/[2/5-(25/2)(abcd)^(1/5)],-----------------------------------------------(4.8) 把(3.2)乘以(ad)^(1/5)或-(bc)^(1/5)得 -[(bba)^(1/5)-(ccd)^(1/5)][(aac)^(1/5)-(ddb)^(1/5)]=[4/5-3(abcd)^(1/5)]*[(ad)^(1/5)],---------------(3.3) 把(3.3)平方后把(4.1),(4.2)代入得 (a+b+c+d+2)^4=-160000*{[4/5-3(abcd)^(1/5)]^2}*[(aaabbbcccddd)^(1/5)]-2560000abcd,-------------------(3.4) 把(4.8)代入(3.4)整理得 [(5^10)/(2^4)][(aaaaaabbbbbbccccccdddddd)^(1/5)]-[(5^8)/2]abcd+(11*5^5)[(aaaabbbbccccdddd)^(1/5)]-(2^4*5^2 *7)*[(aaabbbcccddd)^(1/5)]+(2^4*7)[(aabbccdd)^(1/5)]-[3659/(5^5)](abcd)^(1/5)+[(2^8)/(5^6)]=0,------(3.5) 把(2.1)变形后平方得 (aaaacc)^(1/5)+(ddddbb)^(1/5)+2(aabcdd)^(1/5)=(bbbbaa)^(1/5)+(ccccdd)^(1/5)+2(abbccd)^(1/5),--------(2.2) 把(2.2)两边乘以(bc)^(1/5)或-(ad)^(1/5)后整理得 [(aaab)^(1/5)+(dddc)^(1/5)][(bbbd)^(1/5)+(ccca)^(1/5)]=-4(aabbccdd)^(1/5),--------------------------(2.3) 把(3.2)五次方,展开时把(aaab)^(1/5)+(dddc)^(1/5)当一项;把(bbbd)^(1/5)+(ccca)^(1/5)当一项,得 [(aaab)^(1/5)+(dddc)^(1/5)]^5+[(bbbd)^(1/5)+(ccca)^(1/5)]^5 +5[(aaab)^(1/5)+(dddc)^(1/5)][(bbbd)^(1/5)+(ccca)^(1/5)][(aaab)^(1/5)+(dddc)^(1/5)+(bbbd)^(1/5) +(ccca)^(1/5)]^3 -5{[(aaab)^(1/5)+(dddc)^(1/5)]^2}{[(bbbd)^(1/5)+(ccca)^(1/5)]^2}[(aaab)^(1/5)+(dddc)^(1/5)+(bbbd)^(1/5) +(ccca)^(1/5)]=[4/5-3(abcd)^(1/5)]^5,---------------------------------------------------------------(3.6) 把(2.3),(3.2)代入(3.6)整理得 [(aaab)^(1/5)+(dddc)^(1/5)]^5+[(bbbd)^(1/5)+(ccca)^(1/5)]^5 =[4/5-3(abcd)^(1/5)]^5+20[(aabbccdd)^(1/5)][4/5-3(abcd)^(1/5)]^3 +80[(aaaabbbbccccdddd)^(1/5)][4/5-3(abcd)^(1/5)],---------------------------------------------------(3.7) 把(3.7)中的[(aaab)^(1/5)+(dddc)^(1/5)]^5和[(bbbd)^(1/5)+(ccca)^(1/5)]^5展开整理得 aaab+dddc+bbbd+ccca+5[(aaabcddd)^(1/5)]{[(aaab)^(1/5)+(dddc)^(1/5)]^3+[(bbbd)^(1/5)+(ccca)^(1/5)]^3} -5[(aaaaaabbccdddddd)^(1/5)][(aaab)^(1/5)+(dddc)^(1/5)+(bbbd)^(1/5)+(ccca)^(1/5)]=[4/5-3(abcd)^(1/5)]^5 +20[(aabbccdd)^(1/5)][4/5-3(abcd)^(1/5)]^3+80[(aaaabbbbccccdddd)^(1/5)][4/5-3(abcd)^(1/5)],---------(3.8) 注:(aaabcddd)^(1/5)=(abbbcccd)^(1/5),(aaaaaabbccdddddd)^(1/5)=(aabbbbbbccccccdd)^(1/5) 把(3.8)中的{[(aaab)^(1/5)+(dddc)^(1/5)]^3+[(bbbd)^(1/5)+(ccca)^(1/5)]^3}变形得 {[(aaab)^(1/5)+(dddc)^(1/5)]^3+[(bbbd)^(1/5)+(ccca)^(1/5)]^3} =[(aaab)^(1/5)+(dddc)^(1/5)+(bbbd)^(1/5)+(ccca)^(1/5)]^3 -3[(aaab)^(1/5)+(dddc)^(1/5)][(bbbd)^(1/5)+(ccca)^(1/5)]* [(aaab)^(1/5)+(dddc)^(1/5)+(bbbd)^(1/5)+(ccca)^(1/5)],----------------------------------------------(3.9) 把(3.9),(2.3),(3.2)代入(3.8)整理得 aaab+dddc+bbbd+ccca=[4/5-3(abcd)^(1/5)]^5+25[(aabbccdd)^(1/5)][4/5-3(abcd)^(1/5)]^3 +145[(aaaabbbbccccdddd)^(1/5)][4/5-3(abcd)^(1/5)],--------------------------------------------------(3.10) 把(3.10)的右面展开得 aaab+dddc+bbbd+ccca=-3*11*41abcd+(2^2)*5*(7^2)[(aaaabbbbccccdddd)^(1/5)] -{[(2^4)*(3^2)*11]/5}[(aaabbbcccddd)^(1/5)]+{[(2^6)*23]/(5^2)}[(aabbccdd)^(1/5)] -{[(2^8)*3]/(5^3)}[(aabbccdd)^(1/5)]+(2^10)/(5^5),--------------------------------------------------(3.11) 把(3.11)平方得 (aaab+dddc+bbbd+ccca)^2=(3^2)*(11^2)*(41^2)[(abcd)^2]-(2^3)*3*5*(7^2)*11*41[(abcd)^(9/5)] +[(2^4)*568019/5][(abcd)^(8/5)]-[(2^8)*3*11*2309/(5^2)][(abcd)^(7/5)]+[(2^8)*113473/(5^3)][(abcd)^(6/5)] -[(2^11)*(3^3)*2839/(5^5)]abcd+[(2^12)*3*407/(5^4)][(abcd)^(4/5)]-[(2^17)*3*37/(5^6)][(abcd)^(3/5)] +[(2^16)*91/(5^7)][(abcd)^(2/5)]-[(2^19)*3/(5^8)][(abcd)^(1/5)]+(2^20)/(5^10),----------------------(3.12) 把(3.11)三次方得 (aaab+dddc+bbbd+ccca)^3=-(3^3)*(11^3)*(41^3)[(abcd)^3]+(2^2)*(3^3)*5*(7^2)*(11^2)*(41^2)[(abcd)^(14/5)] -[(2^7)*(3^2)*11*41*54259/5][(abcd)^(13/5)]+[(2^8)*369618899/(5^2)][(abcd)^(12/5)] -[(2^8)*(3^2)*11*8987849/(5^3)][(abcd)^(11/5)]+[(2^10)*2034959727/(5^5)][(abcd)^2] -[(2^12)*3*9748203/(5^4)][(abcd)^(9/5)]+[(2^14)*42046617/(5^6)][(abcd)^(8/5)] -[(2^16)*3*3255273/(5^7)][(abcd)^(7/5)]+[(2^18)*1834619/(5^8)][(abcd)^(6/5)] -[(2^20)*(3^2)*153901/(5^10)]abcd+[(2^22)*3*2207/(5^9)][(abcd)^(4/5)] -[(2^25)*(3^2)*169/(5^11)][(abcd)^(3/5)]+[(2^28)*51/(5^12)][(abcd)^(2/5)] -[(2^28)*(3^2)/(5^13)][(abcd)^(1/5)]+(2^30)/(5^15),--------------------------------------------------(3.13) 连立(3.5),(3.12),(3.13).用(3.5)消去(3.12),(3.13)中高于(abcd)^(6/5)的次项,然后把三个(abcd)^(1/5)的一元6次方程相互作用依次消去(abcd)^(6/5),abcd,(abcd)^(4/5),(abcd)^(3/5),(abcd)^(2/5),(abcd)^(1/5)项,得到aaab+dddc+bbbd+ccca的一元三次方程,解这个一元三次方程,把根代回来解出(abcd)^(1/5),把(abcd)^(1/5)的根代入(4.8)解出a+b+c+d+2.把(abcd)^(1/5)代入(1.2)解出(ad)^(1/5)和(bc)^(1/5).再把a+b+c+d+2,(abcd)^(1/5),(ad)^(1/5),(bc)^(1/5)分别代入(4.6),(4.7)解出a+d和b+c.然后连立(ad)^(1/5)和a+d,(bc)^(1/5)和b+c,解出a,b,c,d.我的电脑里的计算器只有33为位,而且过程全部写下来公式运算框也不够大,我就算到这里了.

备注: 请叔叔,阿姨们给看看

我来说两句